Das Kelly-Kriterium

Wer mit dem Investieren in Aktien beginnen möchte, fragt sich meistens zuerst, welche Aktien er kaufen sollte. Doch mindestens genauso wichtig ist eine andere Frage: Wie viel von seinem Geld sollte man überhaupt investieren? Selbst wenn man eine besonders vielversprechende Anlagemöglichkeit entdeckt, kann ein zu hoher Einsatz zu großen Verlusten führen. Investiert man dagegen zu wenig, nutzt man die Chance auf mögliche Gewinne vielleicht nicht ausreichend. Eine Möglichkeit, dieses Problem mathematisch zu betrachten, ist das Kelly-Kriterium (Kelly Criterion). Dabei handelt es sich um ein Verfahren, mit dem sich anhand der Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten berechnen lässt, welcher Anteil des verfügbaren Geldes eingesetzt werden sollte, um das eigene Vermögen langfristig möglichst schnell zu vermehren. Das Kelly-Kriterium geht auf eine wissenschaftliche Arbeit zurück, die der amerikanische Mathematiker John Larry Kelly Jr. im Jahr 1956 veröffentlichte. Kelly arbeitete damals als Forscher bei den Bell Laboratories. Interessanterweise beschäftigte er sich ursprünglich gar nicht mit Aktien oder Geldanlagen. Sein Forschungsgebiet war vielmehr der Zusammenhang zwischen Informationen und Wahrscheinlichkeiten bei der Nachrichtenübertragung. In der damaligen Kommunikationstechnik bestand ein großes Problem darin, dass Informationen durch Störgeräusche nicht immer fehlerfrei übertragen wurden. Kelly wollte mathematisch erklären, wie wertvoll eine Information ist, wenn man mit ihrer Hilfe das Ergebnis eines Ereignisses vorhersagen kann, obwohl die Information unvollständig ist. Im Laufe seiner Forschung entwickelte er ein Prinzip, das beschreibt, wie jemand sein Geld einsetzen sollte, wenn er die Wahrscheinlichkeiten möglicher Ergebnisse kennt. Um das Kelly-Kriterium besser zu verstehen, betrachten wir ein einfaches Spiel. Stellen wir uns eine besondere Münze vor, bei der mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % Kopf und mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % Zahl fällt. Bei diesem Spiel gewinnt man zusätzlich genau den Betrag, den man gesetzt hat, wenn die Münze Kopf zeigt. Zeigt sie dagegen Zahl, verliert man seinen gesamten Einsatz. Setzt man beispielsweise 100.000 Won und die Münze zeigt Kopf, erhält man seinen ursprünglichen Einsatz von 100.000 Won zurück und gewinnt weitere 100.000 Won. Insgesamt bekommt man also 200.000 Won ausgezahlt. Zeigt die Münze dagegen Zahl, verliert man die eingesetzten 100.000 Won vollständig. Da die Wahrscheinlichkeit für Kopf höher ist, bietet dieses Spiel den Teilnehmern einen mathematischen Vorteil. Wie viel Geld sollte man also bei diesem Spiel einsetzen? Nehmen wir an, man besitzt insgesamt 1.000.000 Won. Da die Gewinnwahrscheinlichkeit höher ist als die Verlustwahrscheinlichkeit, könnte man auf die Idee kommen, gleich die gesamte Million zu setzen. Aber wäre das wirklich die beste Entscheidung? Wenn man die gesamten 1.000.000 Won setzt und gewinnt, verdoppelt sich das Vermögen auf 2.000.000 Won. Verliert man jedoch, ist das gesamte Geld weg. Selbst bei einer hohen Gewinnwahrscheinlichkeit kann eine einzige Niederlage dazu führen, dass man nicht mehr am nächsten Spiel teilnehmen kann. Setzt man dagegen nur einen sehr kleinen Betrag, fallen auch die möglichen Gewinne entsprechend gering aus, obwohl das Spiel eigentlich vorteilhaft ist. Kelly berechnete, welcher Anteil des Geldes in einer solchen Situation eingesetzt werden sollte, damit das Vermögen langfristig möglichst schnell wächst. Bei einem Spiel wie diesem, bei dem man im Gewinnfall einen Betrag in Höhe des Einsatzes gewinnt und im Verlustfall den gesamten Einsatz verliert, ist die Berechnung relativ einfach. Man zieht die Verlustwahrscheinlichkeit von der Gewinnwahrscheinlichkeit ab. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt 60 %, die für Zahl 40 %. Zieht man 40 % von 60 % ab, erhält man 20 %. Das ist der Einsatzanteil, den das Kelly-Kriterium für dieses Spiel vorgibt. Wer also 1.000.000 Won besitzt, würde bei einer Spielrunde 200.000 Won setzen. Die übrigen 800.000 Won bleiben für weitere Gelegenheiten erhalten. Dabei ist ein Punkt besonders wichtig: Man setzt nicht jedes Mal 20 % des ursprünglichen Vermögens ein, sondern immer 20 % des Geldes, das man zu diesem Zeitpunkt noch besitzt. Wenn man in der ersten Runde 200.000 Won setzt und gewinnt, steigt das Vermögen auf 1.200.000 Won. In der nächsten Runde setzt man davon 20 % ein, also 240.000 Won. Verliert man diese zweite Runde, sinkt das Vermögen auf 960.000 Won. Obwohl man einmal gewonnen und einmal verloren hat, besitzt man nun weniger Geld als zu Beginn. Dieses Beispiel zeigt, dass sich Gewinne und Verluste mit demselben Prozentsatz nicht einfach gegenseitig aufheben. Wer 1.000.000 Won investiert und 50 % verliert, hat anschließend nur noch 500.000 Won. Um daraus wieder 1.000.000 Won zu machen, reicht ein Gewinn von 50 % nicht aus. Stattdessen muss das verbliebene Geld um 100 % wachsen. Deshalb geht es beim Investieren nicht nur darum, Gewinne zu erzielen, sondern auch darum, große Verluste zu vermeiden. Das Kelly-Kriterium soll nicht herausfinden, wie man bei einem einzigen Spiel möglichst viel Geld gewinnt. Vielmehr geht es darum, bei vielen Wiederholungen eines vorteilhaften Spiels den Einsatzanteil zu bestimmen, der langfristig das höchste Wachstum durch den Zinseszinseffekt ermöglicht. Dieser Effekt entsteht, wenn man erzielte Gewinne erneut einsetzt und dadurch mit der Zeit auch auf frühere Gewinne weitere Erträge erzielen kann. Allerdings bedeutet die Anwendung des Kelly-Kriteriums keineswegs, dass man garantiert Geld verdient. Selbst bei einer Münze, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % Kopf zeigt, kann mehrmals hintereinander Zahl fallen. Auch wer seine Einsätze nach dem Kelly-Kriterium berechnet, kann dadurch Verluste erleiden. Das Verfahren verhindert also nicht jeden Verlust. Es beschreibt vielmehr, wie sich das langfristige Vermögenswachstum berechnen lässt, wenn die Wahrscheinlichkeiten und die möglichen Gewinne und Verluste genau bekannt sind. Doch lässt sich dieses Prinzip auch auf echte Aktieninvestitionen übertragen? Eine Aktie verbrieft einen Anteil an einem Unternehmen. Anleger kaufen Aktien, wenn sie davon ausgehen, dass sich ein Unternehmen in Zukunft gut entwickeln wird. Steigt der Aktienkurs, können sie die Aktie mit Gewinn verkaufen. Verschlechtert sich jedoch die Geschäftslage des Unternehmens oder verändert sich die wirtschaftliche Situation, kann der Aktienkurs fallen und den Anlegern Verluste bescheren. Auch beim Investieren in Aktien lässt sich der Grundgedanke des Kelly-Kriteriums nutzen. Anders als bei unserem Münzspiel kann man allerdings nicht genau wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Aktienkurs steigen oder fallen wird. Außerdem lässt sich nicht zuverlässig vorhersagen, wie stark sich der Kurs verändern wird. Eine Aktie kann an einem Tag um 2 % steigen und an einem anderen Tag um 5 % fallen. Deshalb kann man die einfache Formel aus unserem Münzspiel nicht unverändert auf Aktien anwenden. Wer das Kelly-Kriterium bei echten Investitionen nutzen möchte, muss auch die unterschiedlichen möglichen Gewinne und Verluste berücksichtigen. Hinzu kommt ein weiteres Problem: Die vom Anleger geschätzten Wahrscheinlichkeiten können falsch sein. Vielleicht geht jemand davon aus, dass eine bestimmte Aktie mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % steigen wird. Tatsächlich könnte diese Wahrscheinlichkeit aber nur 40 % betragen. Verwendet man solche fehlerhaften Schätzungen, kann auch der mit dem Kelly-Kriterium berechnete Investitionsanteil ungeeignet sein. Um dieses Risiko zu verringern, investieren manche Anleger bewusst weniger, als das Kelly-Kriterium eigentlich vorgibt. Dieses Vorgehen wird als fraktioniertes Kelly-Kriterium (Fractional Kelly) bezeichnet. Ergibt die Berechnung beispielsweise einen Anteil von 20 %, könnte man nur die Hälfte davon, also 10 %, investieren. Dadurch kann zwar das theoretisch zu erwartende langfristige Vermögenswachstum geringer ausfallen, gleichzeitig lassen sich aber auch mögliche Verluste begrenzen, wenn sich die eigenen Erwartungen als falsch erweisen. Natürlich gelten solche Zahlen nicht für jede Aktie. Die zuvor berechneten 20 % beziehungsweise 10 % dienen lediglich dazu, das Prinzip anhand eines erfundenen Spiels zu erklären. Sie bedeuten keineswegs, dass man bei echten Aktieninvestitionen genau diese Anteile seines Vermögens einsetzen sollte. Wer gerade erst mit dem Investieren in Aktien beginnt, sollte zunächst etwas Grundlegendes verstehen, bevor er versucht, den optimalen Investitionsanteil zu berechnen: Aktienkurse können jederzeit fallen, und Anlagen mit hohen möglichen Renditen können auch erhebliche Risiken mit sich bringen. Wer sogar Geld investiert, das er für seinen Lebensunterhalt benötigt, oder sein gesamtes Vermögen in ein einziges Unternehmen steckt, kann durch unerwartete Verluste schnell in finanzielle Schwierigkeiten geraten. Eine wichtige Erkenntnis aus dem Kelly-Kriterium lautet deshalb, dass ein möglichst hoher Einsatz nicht automatisch eine gute Investitionsentscheidung ist. Selbst wenn man die Erfolgsaussichten für sehr gut hält, muss man immer auch die Möglichkeit eines Misserfolgs berücksichtigen. Ebenso wichtig ist es, genügend Geld zurückzubehalten, um zukünftige Chancen nutzen zu können. Letztlich ist das Kelly-Kriterium keine Formel, die uns verrät, welche Aktie im Kurs steigen wird. Es ist ein mathematisches Prinzip, das uns hilft, darüber nachzudenken, wie viel von unserem Geld wir in einer unsicheren Situation einem Risiko aussetzen sollten. Beim Investieren kommt es nicht nur darauf an, möglichst schnell einen großen Gewinn zu erzielen. Genauso wichtig ist es, Verluste zu begrenzen und so mit seinem Geld umzugehen, dass man auch langfristig weiter investieren kann.