켈리 법칙

주식 투자를 시작하려는 사람들은 보통 어떤 주식을 사야 할지 먼저 고민합니다. 하지만 어떤 주식을 살 것인지 못지않게 중요한 질문이 있습니다. 자신이 가진 돈 가운데 얼마를 투자해야 할까요? 아무리 좋은 투자 기회를 발견하더라도 돈을 지나치게 많이 투자하면 큰 손실을 입을 수 있습니다. 반대로 너무 적게 투자하면 수익을 얻을 기회를 충분히 활용하지 못할 수도 있습니다. 이러한 문제를 수학적으로 설명하는 방법 가운데 하나가 켈리 법칙(Kelly Criterion)입니다. 켈리 법칙은 이익을 얻을 확률과 손실을 입을 확률을 고려해, 장기적으로 돈을 가장 빠르게 늘릴 수 있는 투자 비율을 계산하는 원리입니다. 켈리 법칙은 1956년 미국의 수학자이자 벨 연구소 연구원이었던 존 래리 켈리 주니어(John Larry Kelly Jr.)가 발표한 논문에서 시작되었습니다. 흥미롭게도 켈리는 처음부터 주식 투자를 연구했던 것은 아닙니다. 그는 통신 과정에서 전달되는 정보와 확률 사이의 관계를 연구하고 있었습니다. 당시 통신 기술에서는 잡음 때문에 정보가 정확하게 전달되지 않는 문제가 있었습니다. 켈리는 불완전한 정보를 이용해 어떤 사건의 결과를 예측할 수 있다면, 그 정보가 얼마나 가치 있는지를 수학적으로 설명하고자 했습니다. 이 과정에서 확률을 알고 있는 사람이 돈을 걸 때 어떤 선택을 해야 하는지에 관한 원리를 발견했습니다. 켈리 법칙을 이해하기 위해 간단한 게임을 생각해 보겠습니다. 앞면이 나올 확률이 60%, 뒷면이 나올 확률이 40%인 특별한 동전이 있다고 가정하겠습니다. 동전을 던져 앞면이 나오면 자신이 건 돈만큼 이익을 얻고, 뒷면이 나오면 건 돈을 전부 잃는 게임입니다. 예를 들어 10만 원을 걸고 앞면이 나오면 원금 10만 원에 이익 10만 원을 더해 총 20만 원을 받습니다. 반대로 뒷면이 나오면 10만 원을 모두 잃습니다. 앞면이 나올 확률이 더 높으므로 이 게임은 참가자에게 유리합니다. 그렇다면 이 게임에 얼마를 걸어야 할까요? 현재 100만 원을 가지고 있다고 가정하겠습니다. 앞면이 나올 확률이 높으므로 100만 원을 전부 거는 것이 가장 좋은 선택일까요? 만약 100만 원을 모두 걸고 앞면이 나오면 돈은 200만 원이 됩니다. 하지만 뒷면이 나오면 가진 돈을 전부 잃습니다. 아무리 이길 확률이 높더라도 한 번의 실패로 돈이 사라지면 다음 게임에 참여할 수 없습니다. 반대로 돈을 지나치게 적게 걸면 유리한 게임을 통해 얻을 수 있는 이익도 작아집니다. 켈리는 이런 상황에서 장기적으로 돈을 가장 빠르게 늘릴 수 있는 비율을 계산했습니다. 이 게임처럼 이기면 건 돈만큼 벌고, 지면 건 돈을 전부 잃는 경우에는 계산이 비교적 간단합니다. 이길 확률에서 질 확률을 빼면 됩니다. 앞면이 나올 확률은 60%이고 뒷면이 나올 확률은 40%이므로, 60%에서 40%를 뺀 20%가 켈리 법칙에 따른 비율입니다. 따라서 100만 원을 가지고 있다면 한 번에 20만 원을 거는 것입니다. 나머지 80만 원은 다음 기회를 위해 남겨 둡니다. 여기서 중요한 점은 매번 처음 가진 돈의 20%를 거는 것이 아니라, 현재 남아 있는 돈의 20%를 건다는 것입니다. 첫 번째 게임에서 20만 원을 걸어 이겼다면 가진 돈은 120만 원이 됩니다. 다음 게임에서는 120만 원의 20%인 24만 원을 겁니다. 만약 두 번째 게임에서 졌다면 가진 돈은 96만 원으로 줄어듭니다. 한 번 이기고 한 번 졌는데도 처음보다 돈이 줄어든 것입니다. 이는 수익과 손실이 같은 비율로 발생하더라도 돈이 반드시 원래대로 돌아오는 것은 아니라는 사실을 보여 줍니다. 100만 원을 투자해 50%의 손실을 입으면 50만 원이 남습니다. 이 돈을 다시 100만 원으로 만들려면 50%가 아니라 100%의 수익을 얻어야 합니다. 이처럼 투자에서는 이익을 얻는 것뿐 아니라 큰 손실을 피하는 것도 중요합니다. 켈리 법칙은 한 번의 게임에서 가장 많은 돈을 버는 방법이 아니라, 유리한 게임을 여러 번 반복할 때 장기적인 복리 성장률을 가장 높이는 비율을 찾는 방법입니다. 복리란 이익으로 늘어난 돈까지 다시 활용하면서 자산이 불어나는 원리를 말합니다. 그렇다고 켈리 법칙을 따르면 반드시 돈을 벌 수 있는 것은 아닙니다. 앞면이 나올 확률이 60%인 동전이라도 뒷면이 여러 번 연속으로 나올 수 있습니다. 켈리 법칙에 따라 돈을 걸더라도 이러한 일이 발생하면 손실을 입습니다. 켈리 법칙은 모든 손실을 막는 방법이 아니라, 확률과 보상이 정확하게 알려져 있다는 조건에서 장기적인 성장을 계산하는 방법입니다. 그렇다면 이 법칙을 실제 주식 투자에도 적용할 수 있을까요? 주식은 기업의 일부를 소유할 수 있는 증서입니다. 투자자는 기업의 미래가 좋을 것이라고 기대하면 주식을 사고, 주식 가격이 오르면 이를 팔아 이익을 얻을 수 있습니다. 하지만 기업의 실적이 나빠지거나 경제 상황이 달라지면 주식 가격이 떨어져 손실을 입을 수도 있습니다. 주식 투자에서도 켈리 법칙의 원리를 활용할 수 있습니다. 다만 앞서 살펴본 동전 게임과 달리, 실제 주식은 오를 확률과 내릴 확률을 정확하게 알기 어렵습니다. 주식 가격이 얼마나 오르거나 내릴지도 일정하지 않습니다. 어떤 주식은 하루에 2% 오르기도 하고, 다른 날에는 5% 떨어지기도 합니다. 따라서 동전 게임에서 사용한 단순한 계산식을 주식에 그대로 적용할 수는 없습니다. 실제 투자에 켈리 법칙을 적용하려면 다양한 수익과 손실의 가능성까지 고려해야 합니다. 여기에 또 다른 문제가 있습니다. 투자자가 예상한 확률이 틀릴 수도 있다는 것입니다. 어떤 주식이 오를 확률을 60%라고 생각했지만 실제로는 40%에 불과할 수 있습니다. 이렇게 잘못된 확률을 사용하면 켈리 법칙으로 계산한 투자 비율도 적절하지 않게 됩니다. 이러한 위험을 줄이기 위해 일부 투자자들은 계산된 비율보다 적은 돈을 투자하는 방법을 사용합니다. 이를 부분 켈리(Fractional Kelly)라고 합니다. 예를 들어 켈리 법칙으로 계산한 비율이 20%라면 그 절반인 10%만 투자하는 방식입니다. 이론적으로 기대할 수 있는 장기 성장 속도는 낮아질 수 있지만, 예상이 틀렸을 때 발생하는 손실도 줄일 수 있습니다. 물론 이러한 숫자가 모든 주식에 적용되는 것은 아닙니다. 앞에서 계산한 20%나 10%는 특정한 가상의 게임을 설명하기 위한 수치일 뿐, 실제 주식에 그만큼 투자해야 한다는 뜻은 아닙니다. 주식 투자를 처음 시작하는 사람이라면 정확한 투자 비율을 계산하는 것보다 먼저 이해해야 할 것이 있습니다. 주식 가격은 언제든 떨어질 수 있고, 높은 수익을 기대하는 투자에는 큰 위험이 따를 수 있다는 사실입니다. 또한 당장 생활에 필요한 돈까지 투자하거나, 가진 돈을 한 기업에 모두 투자하면 예상하지 못한 손실로 어려움을 겪을 수 있습니다. 켈리 법칙이 알려 주는 중요한 교훈은 단순히 돈을 많이 거는 것이 좋은 투자가 아니라는 점입니다. 성공할 확률이 높다고 생각하더라도 실패할 가능성을 고려해야 하며, 다음 기회를 활용할 수 있도록 돈을 남겨 두는 것이 중요합니다. 결국 켈리 법칙은 어떤 주식이 오를지 알려 주는 공식이 아닙니다. 불확실한 상황에서 자신의 돈을 얼마나 위험에 노출해야 하는지 생각하게 하는 원리입니다. 투자에서 중요한 것은 한 번에 큰돈을 버는 것만이 아니라, 손실을 관리하면서 오랫동안 투자를 이어 갈 수 있도록 하는 것입니다.